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Luftkräfte durch Tragflächen

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Wird eine Tragfläche von einer Luftströmung angeblasen, wirken Kräfte auf sie. Diese werden auf der Seite Kräfte an Tragflächen beschrieben. Nach den Gesetzen der klassischen Mechanik übt die Tragfläche gleich große Gegenkräfte auf die Luft aus, die detailliert auf dieser Seite diskutiert werden (s.a. Newtonsche Axiome).

Ziel ist es zu zeigen, wie jedes endlich große Luftvolumen, das das Flugzeug enthält, mit der Umgebung wechselwirkt, damit diese das Volumen tragen kann. Ist nichts anderes angegeben, wird die Bewegung eines Luftteilchens bestimmt von Anfangs- und Randbedingungen, der Druckgradientkraft und der (viskosen) Reibungskraft.

Inhaltsverzeichnis

Der Tischventilator

Jeder Tischventilator zur Beschaffung von etwas Frische im Sommer am Büroarbeitsplatz zeigt erstaunlich vollständig die Natur der Gegenkraft zu den oben beschriebenen Kräften am Flügel. Luft wird durch den Flügel beim Flugzeug nach unten und nach vorne beschleunigt als Gegenkraft zu Auftrieb und Widerstand nicht nur am Flugzeug sondern auch bei Vögeln, Hummeln, kurz alles, was nach dem Prinzip "schwerer als Luft" fliegt. Von vorne anströmende Luft verlässt den Flügelbereich also mit einer Geschwindigkeitskomponente nach unten. Im Folgenden werden diese Vorgänge genauer betrachtet.

Der Druck

Druck und Geschwindigkeit: Bernoulli

Der Druck, besser die Druckänderung um den Flügel durch die Umströmung, spielt eine wichtige Rolle beim Kräftespiel um den Auftrieb, ergänzt aber das obige Modell nur in wenigen Spezialfällen signifikant. Bei Umströmung eines Flügels wird hierzu der Bernoulli Efffekt zitiert, der Geschwindigkeit und Druck fest miteinander verknüpft: Der Druck ist umgekehrt proportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeit. Die Anwendbarkeit dieser Relation ist jedoch an strenge Annahmen geknüpft: Die Strömung muss:

  • reibungsfrei,
  • wirbelfrei und inkompressibel
  • und stationär sein.

Die Bewegung eines Fluidteilchens darf auch nur bestimmt werden von Anfangs- und Randbedingungen und einer Kraft, die sich als Gradient eines Skalarpotentials (meist nur der Druckgradient) formulieren lässt.

Trotz dieser anscheinend starken Einschränkungen ist die Bernoulli-Relation in sehr weiten Bereichen des Fliegens bei Umströmung des Tragflügels sehr gut erfüllt. Bereiche sind z. B.:

  • Der manntragende Sport- und Segelflug
  • Der gesamte Modellflug

Explizit nicht oder nach detaillierter Prüfung nur eingeschränkt anwendbar ist Bernoulli bei:

  • Flug im Bereich und über der Schallgeschwindigkeit: Die Kompressibilität der Luft ist zu berücksichtigen.
  • Vogelflug und was sonst noch lebt: Bei Flügelschlag ist die Strömung nicht mehr stationär.
  • Rotoren von Helikoptern und Propeller: Stationarität der Strömung gibt es im rotierenden System des Propellers. Hier sind zwingend Coriolis- und Fliehkräfte zu berücksichtigen, die sich nicht als Gradient eines Skalarpotentials schreiben lassen.

Im Folgenden werden - wenn nicht anders angegeben - nur Fälle diskutiert, die der Bernoulli-Relation genügen.

Flügelnahe Umströmung

Fldruck.png

In Flügelnähe (bis ca. eine Flügeltiefe ober- und unterhalb) ist die Strömungsgeschwindigkeit oberhalb des Flügels deutlich höher als unterhalb des Flügels. Entsprechend Bernoulli ist der Druck oberhalb des Flügels kleiner als unterhalb (Skizze). Mit wachsender Entfernung vom Flügel werden die Geschwindigkeits- und Druckunterschiede ober- und unterhalb des Flügels schnell kleiner bis sie nicht mehr nachweisbar sind.

Betrachtet man zwei beliebige Volumina um den Flügel herum (Skizze, grün gestrichelt), so wirkt die Druckkraft auf jedes Volumen über die Volumenoberfläche senkrecht in das Volumen hinein. Die Vertikalkomponente der Druckkraft erfahren beide Volumina also ausschließlich über die jeweils gleichgroßen horizontalen Begrenzungsflächen der Volumina. Je größer die vertikalen Abstände dieser Flächen vom Flügel werden, um so kleiner werden diese Kräfte. Da sie also niemals gleich sind, können sie im Allgemeinen auch nicht gleich der Gewichtskraft des Flugzeugs sein und folglich auch nicht (alleine) das Flugzeug tragen.

Das gesamte Volumen muss aber weiterhin noch von der Luft außerhalb getragen werden. Wodurch wird dieses beliebig große Luftvolumen aber getragen, wenn nicht einmal bei Flugzeugen, bei denen die Umströmung sehr gut nach Bernoulli beschrieben werden kann, der Druckunterschied das Flugzeug im Allgemeinen trägt?

Die Impulsbilanz

Kraft gleich Masse * Beschleunigung

Der Druckunterschied ist also i. A. nicht in der Lage, ein Flugzeug in beliebeiger Höhe über dem Boden zu tragen. Die Bewegungsgleichung der den Flügel umströmenden Luft enthält aber noch die Beschleunigung der Luftteilchen. Ein Flügel ist so gebaut, dass er die umströmende Luft von vorne kommend nach unten ablenkt, ihr also eine Vertikalbeschleunigung gibt. Die Gegenkraft hierzu ist dann der Auftrieb.

Impulsdiagramm downwash.png

Impulserhaltung

Verlässt das Luftteilchen den Einzugsbereich des Flügels, hat es einen vertikalen Impuls nach unten. Dieser Impuls bleibt erhalten, solange keine weiteren Kräfte (z. B. Reibung) auf das Luftteilchen einwirken - im Zweifel bis zum Erdboden.

Wichtige Experimente, die dieses Strömungsmodell unterstützen sind:

  • Der schon genannte Tischventilator
  • Eine Postkarte, horizontal und mit Anstellwinkel über eine brennende Kerze bewegt bringt ihre Flamme zum Flackern, auch wenn der vertikale Abstand zur Kerze ziemlich groß ist.

Bleibt weiter zu klären, wie das Flugzeug in großen Höhen weit weg vom Einzugsbereich des Flügels getragen wird, obwohl oder weil der Impuls, einmal generiert, erhalten ist?

Die Impulsbilanz

Flimpuls.png

Die Antwort liefert die Betrachtung der gesamten Impulsbilanz des beliebig großen aber mit dem Flugzeug bewegten Luftvolumens. Das Volumen wird durchströmt. Für den Gesamtimpuls des Luftvolumens gilt dann (Skizze):

  • Das Einströmen ist im Mittel horizontal, die Luft bringt somit nur horizontalen Impuls mit.
  • Im direkten Einflussbereich des Flügels (grün unterlegt) wird die Luft durch den Flügel nach unten abgelenkt, also beschleunigt. Insgesamt wird also Vertikalimpuls produziert.
  • Außerhalb dieses Einflussbereichs bleibt der Impuls erhalten, solange keine anderen Kräfte auf die Luft einwirken. Damit gilt für jedes Volumen, das den Einflussbereich des Flügels umschließt, dass in dem Volumen Vertikalimpuls der Luft nach unten produziert wird. Die Gegenkraft hierzu ist der Auftrieb für das gesamte Luftvolumen mit Flugzeug.
  • Innerhalb von Luftvolumen, die den Einflussbereich des Flügels nicht vollständig enthalten, wird daher weniger Vertikalimpuls produziert als zum Tragen des Flugzeugs erforderlich ist. Hier wird der Auftrieb gemeinsam mit dem Druckfeld erzeugt.

Auch außerhalb des Einflussbereiches des Flügels ist die Luftbewegung nicht geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit. Es finden z. B. Mischungsprozesse statt. Diese sind jedoch impulserhaltend, während ein Teil der kinetischen Energie in innere Energie (Wärme) umgewandelt wird. Ein gutes Analogon aus dem Bereich der Schulphysik ist der unelastische Stoß.

Die Viskosität

Flnovis.png

Bislang wurde nur beschrieben, wie die den Flügel umströmende Luft abgelenkt wird, um durch Druckgradient und Impulsproduktion und -erhaltung die Gegenkraft zum Gewicht des Flugzeugs zu bilden. Es gibt aber zunächst keinen Grund, warum die Luft derartig strömend das Flugzeug trägt. Die Luft könnte auch, wie hier rechts skizziert, von unten um die Endleiste herum strömen und hierbei keinerlei Auftrieb bieten. Sie tut dies auch manchmal, z. B.:

  • Ist der Anstellwinkel im Flug zu groß, reißt die Strömung ab. Die Luft umströmt den Flügel wie ein querstehendes Brett und erzeugt keinen Auftrieb mehr. Das Flugzeug stürzt ab.
  • Im Labor kann die Viskosität des umströmenden Fluids stark verringert werden (Vergrößerung der Re-Zahl). Auch dann strömt das Fluid nicht mehr glatt an der Endleiste nach hinten ab sondern wie beim Strömungsabriss. Auftrieb wird nicht erzeugt.

Die Grenzschicht und die Wirbelstärke

Durch die Viskosität der Luft bildet sich unmittelbar oberhalb der Flügeloberfläche eine Grenzschicht, in der die Strömung durch eine starke Scherung charakterisiert ist. Hierdurch hat diese Luft eine Wirbelstärke, die außerhalb der Grenzschicht eine Erhaltungsgröße ist (wie der Drehimpuls des starren Körpers).

Gelangt Luft aus der Grenzschicht nach außerhalb, wird sie sich wegen der starken Scherung aber bei Erhalt der gesamten Wirbelstärke mischen und daher einer gekrümmten Trajektorie folgen, die diese Luft wieder in die Grenzschicht zurückführt.

Luft folgt daher Oberflächen, die sich sanft gebogen an ihre Strömung anschmiegen, was in einfachen Experimenten leicht nachprüfbar ist (oft aber nicht unumstritten Coanda-Effekt genannt). Tragflächen sind exakt so gebaut, dass die Luft besonders an ihrer Oberseite der Oberfläche folgend nach unten beschleunigt wird.

In praktischen Anwendungen zur Auslegung von Tragflächen ist dieser wichtige Effekt der Viskosität sehr aufwändig zu realisieren. Er lässt sich aber gut simulieren in einem viskositätsfreien Fluid (Re-Zahl unendlich) mit Hilfe der so genannten Kutta Bedingung: Die Luft muss an der scharfen Endleiste des Flügels sanft nach hinten abströmen.

Außerhalb der Grenzschicht

bedeutet dies zunächst, dass direkt oberhalb eine Zone niedrigen Drucks entsteht, durch den die Luft darüber nach unten beschleunigt wird. Dies setzt sich mit Schallgeschwindigkeit (bei Inkompressibilität instantan) im gesamten Einflussbereich des Flügels fort. Aus Gründen der Energieerhaltung muss die Luft in diesem Bereich auch tangential nach hinten beschleunigt werden (dies ist nach Bernoulli, welches eine Spezialanwendung der Energieerhaltung ist).

Zusammenfassung

Mit Einbeziehung der Viskosität ist somit der Kausalzusammenhang, wie der Auftrieb am Flugzeug entsteht, erläutert. Hier nochmal das Wichtigste in Kürze:

  • Durch die Viskosität (endliche Re-Zahl) folgt die Luft der sanft gebogenen Flügeloberfläche besonders an der Oberseite.
  • Durch den Anstellwinkel wird die Luft gezwungen, schräg nach unten abzuströmen. Der Flügel prouziert somit einen Vertikalimpuls in der Luft. Dies ist eine Kraft, die Gegenkraft dazu ist Teil des Auftriebs.
  • Durch Anstellwinkel und Viskosität bildet sich auf der Flügeloberseite ein Druckgradient von oben nach unten. Hierdurch wird oberhalb des Flügels die Luft nach unten beschleunigt. Die Gegenkraft zu diesem Impuls ist auch Teil des Auftriebs.
  • Aus Gründen der Energieerhaltung verlangt die Druckminderung über dem Flügel eine Beschleunigung der Luft nach hinten. Dies ist eine Nebenwirkung und nicht Teil der Auftriebserzeugung.
  • Verlässt die Luft den Einflussbereich des Flügels, bleibt der ihr vom Flügel gegebene Vertikalimpuls erhalten, solange keine anderen Kräfte auf die Luft einwirken - also im Zweifel bis zur Abgabe des Impulses an die Erdoberfläche.

Hieraus folgt die physikalische Korrektheit des folgenden Spruchs, der sonst nur in Verbindung mit Hubschraubern zitiert wird: "Flugzeuge fliegen, weil sie so hässlich sind, dass Mutter Erde sie immer wieder fortwirft"

Auftrieb und Widerstand

Hier wird gezeigt, dass es aus Gründen der Energieerhaltung zwingend erforderlich ist, dass Auftriebserzeugung einen Widerstand erzeugt. Hier ist es unerheblich, ob dieser Widerstand induzierter Widerstand heißt.

Auftrieb und Leistung

Unter der Annahme, dass die mittlere Horizontalgeschwindigkeit der Luft vor dem Einströmen und nach Verlassen des Einflussbereichs des Flügels gleich bleibt, hat die Luft nach Verlassen des Einflussgebiets des Flügels durch die Produktion eines Vertikalimpulses eine größere kinetische Energie als vorher. Physikalisch ist diese Energieproduktion eine Leistung, die vom Flugzeug aufgebracht werden muss.

Beispiel, ein klassisches Segelflugzeug

Ein klassisches Segelflugzeug habe eine Spannweite von 15m, eine Flügeltiefe von 1m, eine Masse von 800kg und eine Geschwindigkeit von 40m/s. Wir nehmen an, der Einflussbereich des Flügels habe im Mittel entlang der Spannweite die Höhe von einer Flügeltiefe (1m). Dann ist:

  • Die Luftmasse, die an der Umströmung des Flügels beteiligt ist die Masse von 15m³ ,also etwa 15kg. Die kinetische Energie der Luft ist demnach vor dem Einströmen in den Einflussbereich des Flügels: E_1 = \frac{1}{2}mv^2 = 7,5kg \cdot 1600 \frac{m^2}{s^2} \simeq 12 kJ
  • Die mittlere Beschleunigung dieser Luft, um das Flugzeug tragen zu können, ist somit: 800/15g, also ca. 50g (d. i. die 50-fache Erdbeschleunigung!).
  • Die Zeit, die die Luft im Einflussbereich des Flügels verbringt, sei die Zeit zur Überwindung der Strecke einer Flügeltiefe, also ca. 1/40s.
  • Demnach hat die Luft eine mittlere Vertikalgeschwindigkeit von ca. w = 500~m/s^2 \cdot 1/40~s \simeq 12m/s
  • Die kinetische Energie, die so produziert wurde, ist somit mit dem Betrage der Gesamtgeschwindigkeit V = \sqrt{v^2 + w^2} = 42 m/s der Luft nach Verlassen des Einflussbereichs des Flügels: E_2 = \frac{1}{2}mV^2 = 7,5kg \cdot 1744 \frac{m^2}{s^2} \simeq 13 kJ
  • In 1/40s wurde somit die kinetische Energie von 1kJ erzeugt. Dies entspricht einer Leistung von 40kW. Das ist für ein modernes Segelflugzeug sehr viel, vielleicht kennt ja jemand typischere Zahlen...
  • Die 40kW erzwingen eine Vertikalgeschwindigkeit des Flugzeugs zur Erzeugung dieser Leistung aus seiner potentiellen Energie von :40 kW = m g \dot h \simeq 5m/s Mit der Horizontalgeschwindigkeit von 40m/s entspricht dies einem Gleitwinkel von 1:8, der entsprechend schlecht ist.


Dieses Beispiel zeigt, wie man pauschale Abschätzungen machen kann, und wo die Grenzen sind. Die Methode basiert formal darauf, dass besonders die Geschwindigkeitsverteilung im Einflussbereich des Flügels über diesen Bereich gemittelt wird und nur noch mit diesen Mittelwerten gerechnet wird. Energie und Leistung hängen jedoch quadratisch von der Geschwindigkeit ab. Hier ist es leider nicht so, dass das Produkt der Mittel gleich dem Mittel des Produktes ist. Wir rechnen das Erste und wollen das Zweite.

Für Impuls und Kräfte (Beschleunigung) ist die Abschätzung sicher sinnvoll. Sie zeigt, dass die Effekte des Flügels auf die umströmende Luft erheblich sind. Um das Flugzeug zu tragen werden die Beschleunigungen groß.

Beispiel Ende

Weblinks

  • Etwas Mathematik zum Thema Strömunsmechanik Sehr gute Animationen und Visualisierungen zu Strömungsfeldern und Kräften.
  • Beginner's Guide to Aerodynamics der NASA. Hier gibt's u.a. einen Computer-Windkanal, in dem man die Hauptparameter eines Profils verändern und die Auswirkungen auf Strömungsfeld und Kräfte beobachten kann.