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Formelsammlung Elektroantriebe

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Die hier vorgestellte Formelsammlung ist für Elektroantriebe bestimmt.

Die Formeln basieren auf einem linearen Motormodell und sind ohne Einschränkungen sowohl für Bürstenmotoren wie auch für Brushless-Motoren anwendbar. Zu beachten ist, dass die Formeln nur für Vollgas gelten. Damit auch mathematisch weniger Geschulte damit was anfangen können sind die mathematischen Operatoren auf „Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division“ sowie auf die Funktion „sqrt = Quadratwurzel“ beschränkt (Klammerrechnen sollte aber bekannt sein).

Vorerst werden die Formeln nur in der Notation einer Programmiersprache (hier MatLab) aufgeführt. Dies hat aber auch den Vorteil dass man diese mittels „copy and paste“ in eigene Scripte hineinkopieren kann. Da einige der Formeln vom Umfang her nicht mehr „Taschenrechner-Freundlich“ sind wird die Installation eines geeigneten Formelinterpreters empfohlen.


Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen

Konstanten (erstes Zeichen in Groß)

 \boldsymbol{U} : Versorgungsspannung des Antriebstranges [V]

 \boldsymbol{R} : ohmscher Widerstand des Antriebstranges [Ohm]

 \boldsymbol{Kv} :spezifischer Kennwert des Motors. Angegeben in Umdrehungen pro Minute pro Volt. Wird heutzutage in der Regel im Datenblatt des Motors angeben. Im weiteren wird für „Umdrehungen pro Minute“ das Symbol „rpm“ verwendet. Die Dimension von Kv ist also [rpm/V]. Für gelistete Motoren kann man diese auch dem Programm [DC] entnehmen mit dem Vorteil dann einen gemessenen Wert zu haben (Kv = ns).

 \boldsymbol{I_0} : Leerlaufstrom des Motors (also ohne Propeller). Dieser Wert ist Drehzahl abhängig, also auch von U, und wird meistens in den Datenblättern schamhaft verschwiegen weil er zusammen mit dem RiM den maximalen Wirkungsgrad des Motors bestimmt. Man kann ihn ggf. veröffentlichten Messwerten entnehmen, selber messen oder einfach nur schätzen. Die Dimension von I0 ist [A]. Beim linearen Motormodell wird I0 als konstant angenommen.

 \boldsymbol{Ueb} : Übersetzung/Untersetzung des Getriebes (je nach Blickrichtung) aber mit der Annahme dass die Drehzahl der Propellerwelle kleiner als die Drehzahl des E-Motors ist. Ein Getriebe mit 1 : 5.2 wird also mit Ueb=5.2 angeben. Wird kein Getriebe verwendet ist Ueb=1.

 \boldsymbol{\eta_g} : Wirkungsgrad des Getriebes. Standardannahme Etag=0.95. Wird kein Getriebe verwendet ist Etag=1.

 \boldsymbol{N_{100}} : ist eine spezifische Kennzahl eines Propellers die angibt bei welcher Drehzahl [rpm] der Propeller 100 Watt aufnimmt. In dieser Form ist sie nur für Standleistung gültig. Diese Werte werden z.T. von den Herstellern veröffentlicht. Gemessenen Werte findet man auf der Homepage von Gerd Giese [GG]. Für gelistete Propeller kann man diese auch dem Programm [DC] entnehmen.


Variablen (die gesuchten Größen)

 \boldsymbol{i_m} : Motorstrom [A]

 \boldsymbol{rpm} : [Umdrehungen/Minute] an der Abtriebswelle

 \boldsymbol{p_{ab}} : Wellenleistung an der Abtriebswelle [W]

 \boldsymbol{trq} : Drehmoment an der Abtriebswelle [Nm]

 \boldsymbol{\eta} : Wirkungsgrad des Antriebstranges bis zur Abtriebswelle


Definition des Antriebsstranges

Eine wichtige Kenngröße ist der ohmsche Innenwiderstand (R) des Antriebsstranges zusammen mit zugehörigen Spannung (U). Die verwendeten Definitionen werden durch die folgende Synoptik erläutert.

Antriebsstrang1.png

U_a\!: ist die Leerlaufspannung des Akkus. Sie ist einfach mit einem Multimeter bei unbelastetem Akku zu messen. Um sicherzustellen dass der Regler mit einem frischgeladenen Akku nicht überlastet wird, sollte eine Stromrechnung mit der Ladeschlussspannung des Akkus erfolgen. Falls Wirkungsgradüberlegungen angestellt werden, sollte zur Ernüchterung ebenfalls mit U_a\! gerechnet werden. In beiden Fallen ist die Kenntnis des RiA notwendig. Moderne High-End-Ladegeräte zeigen diesen an. Er kann jedoch auch relativ einfach mit einem Multimeter und einer Stromsenke gemessen werden. Schlussendlich findet man auf der Homepage von Gerd Giese viele vermessene Akkutypen mit R_i\!-Angabe.

U_k\!: ist die Klemmenspannung des Akkus wenn der Motorstrom (i_m\!) fließt. Dabei ist

      U_k = U_a-R_{iA} \cdot i_m

Uk / ! kann im Betrieb mit einem Multimeter oder einem Logger gemessen werden. Ist der Innenwiderstand nicht bekannt und kein Messwert von U_k\! verfügbar kann dieser z.B. einen Programm wie [DC] entnommen werden.

U_m\!: ist die Klemmenspannung des Motors. Bei einem „brushless“ ist diese mit den typischen Messinstrumenten eines Modellfliegers nicht messbar. Sie kann also nur über den Innenwiderstand des Reglers (R_{iR}\!) errechnet werden. Der Innenwiderstand des Reglers (einschließlich Stecker und Verkabelung) liegt typisch im Bereich von 0.003 –0.010 Ohm und kann für Überschlagsrechnungen vernachlässigt werden. Somit haben wir für U_m\!:

     U_m = U_k-R_{iR} \cdot i_m

oder

   U_m = U_a - (R_{iA} + R_{iR}) \cdot i_m


 R_{iM}\!: Innenwiderstand des Motors. Kann bei guten Motoren dem Datenblatt entnommen werden. Kann notfalls (falls vermessen und gelistet) auch Programmen wie [DC] hier dann als R_d\! entnommen. Mit etwas aufwendigerem Equipment kann dieser auch selbst vermessen werden.


Festlegung

Bevor wir die aufgeführten Formeln anwenden müssen wir festlegen mit welchem U und R wir rechnen wollen. Folgende Fälle können unterschieden werden:

1)

U = U_a \!
  R = R_{iA} + R_{iR} + R_{iM} \!

2)

  U = U_k \!
  R = R_{iR} + R_{iM} \!

3)

  U = U_m \!
  R = R_{iM} \!

Formeln

Anmerkung: % leitet ein Kommentar ein.

Formeln in Boxen zum "copy/paste" in einem Formelinterpreter


Motorstrom (im)

Motorstrom als Funktion der Drehzahl (rpm)

 i_m = \frac{(U - rpm \frac {Ueb}{Kv})}{  R}  \!
% Motorstrom im=F(rpm)                                                              {Gl. 1}
im = (U - rpm * Ueb / Kv) / R;

Motorstrom als Funktion der abgegeben Leistung

  im = \frac{1}{2R} \cdot U + \frac{1}{2}  I_0 - \frac{1}{2  \eta_g \cdot R} \cdot \sqrt{K_1} \!
  K_1 = \eta_g  (\eta_g \cdot U^2 - 2 \eta_g \cdot U \cdot R \cdot I_0 + \eta_g \cdot R^2 \cdot I_0^2 - 4  R \cdot p_{ab}) \!
% Motorstrom im=F(pab)                                                              {Gl. 2}
K1 = Etag * (Etag * U * U - 2*Etag * U * R * I0 + Etag * R * R * I0 * I0 - 4 * R * pab);
im = 1/2 / R * U + 1/2 * I0 - 1/2 / Etag / R * sqrt(K1);

Drehzahl (rpm) der Abtriebswelle

Drehzahl als Funktion des Stroms

  rpm = \frac{( U - i_m \cdot R ) \cdot Kv}{ Ueb}
% Wellendrehzahl rpm = F(im)                                                          {Gl. 3}
rpm = ( U - im * R ) * Kv / Ueb;


Drehzahl als Funktion der Leistung

  rpm = \frac{Kv}{ 2 Ueb}  (\eta_g \cdot (U - I_0 \cdot R) + K_1  \sqrt{K_2 - 4 \cdot p_{ab} \cdot R}) / \eta_g;
   K_1 = \sqrt{ \eta_g }
   K_2 = \eta_g  (U - I_0 \cdot R)^2
% Wellendrehzahl rpm = F(pab)                                                        {Gl. 4}
K1 = sqrt(Etag);
K2 = Etag * (U - I0 * R) * (U - I0 * R);
rpm = 1/2 * Kv / Ueb * (Etag * (U - I0 * R) + K1 * sqrt(K2 - 4 * pab * R)) / Etag;


Wellendrehzahl als Funktion von N_{100}\!

  rpm = 0.005 \frac{K_1}{Ueb} \left( -\frac{\eta_g }{ K_4 \cdot R } + 
             \frac{K_5}{ K_4 \cdot R \cdot  K_3 \cdot  K_2 } \sqrt{ \eta_g \cdot  K_1 + 400 \cdot  Kv \cdot  K_4 \cdot  R  (U - I_0 \cdot  R)} \right);
 K_1 = \left( Ueb \cdot N_{100} \right)^3
 K_2 = {\sqrt{N_{100}}}^3
 K_3 = {\sqrt{Ueb}}^3
 K_4 = Kv^2 \!
 K_5 = \sqrt{\eta_g}
% Wellendrehzahl rpm = F(N100)                                                        {Gl. 5}
K1 = Ueb * Ueb * Ueb * N100 * N100 * N100;   % (Ueb * N100)^3
K2 = sqrt( N100 * N100 * N100);  % N100^(3/2)
K3 = sqrt( Ueb * Ueb * Ueb);   % Ueb^(3/2)
K4 = Kv * Kv;   % Kv^2
K5 = sqrt(Etag);
rpm = 0.005 * K1 / Ueb * 
         ( -Etag / K4 / R + 
            K5 * sqrt( Etag * K1 + 400 * Kv * K4 * R * (U - I0 * R)) / K4 / R / K3 / K2);

Abgegebene Leistung (pab)

Abgegebene Leistung p_{ab}\! als Funktion von i_m\!

 p_{ab} = \eta_g  (U - i_m \cdot R)  (i_m - I_0) \!
% Abgegebene Leistung pab = F(im)                                                    {Gl. 6}
pab = Etag * (U - im * R) * (im - I0);

Abgegebene Leistung p_{ab}\! als Funktion von i_m\! und rpm

 p_{ab} = \eta_g \cdot rpm \frac{Ueb}{Kv}  (i_m - I_0)  \!
% Abgegebene Leistung pab = F(rpm, im)                                               {Gl. 7}
pab = Etag * rpm * Ueb / Kv * (im - I0);

Abgegebene Leistung p_{ab}\! als Funktion von rpm

 p_{ab} =  \eta_g \cdot rpm \cdot \frac{Ueb}{Kv} \left( \frac{U - \frac{rpm \cdot Ueb}{ Kv}} { R} - I_0 \right) \!
% Abgegebene Leistung pab = F(rpm)                                                   {Gl. 8}
pab = Etag * rpm * Ueb / Kv * ((U - rpm * Ueb / Kv) / R - I0);

Abgegebene Leistung p_{ab}\! als Funktion von rpm und N_{100}\!

 p_{ab} = 100 \left( \frac{rpm}{N_{100}} \right) ^3
%pab = F(rpm, N100)                                                                  {Gl. 9}
pab = 100 * (rpm / N100) * (rpm / N100) * (rpm / N100);  %100*(rpm/N100)^3

Wirkungsgrad (eta)

Definiert als eta=pab/Eingangsleistung. Eingangsleistung = U*im.

% eta=F(im)                                                                      {Gl. 10}
eta = Etag * (U - im * R) * (im - I0) / U / im;
% eta=F(rpm)                                                                     {Gl. 11}
eta = Etag * rpm * Ueb * (U * Kv - rpm * Ueb - I0 * Kv * R) / Kv / U / (U * Kv - rpm * Ueb);
% Strom bei maximalem Wirkungsgrad                                               {Gl. 12}
iEtaMax = sqrt( U  / R * I0);
% Maximaler Wirkungsgrad                                                         {Gl. 13}
etaMax = ( 1 - sqrt( I0 * R / U)) * (1 - sqrt( I0 * R / U));

Diverse

% Spezifische Drehzahl  Kv=F(rpm,im)                                               {Gl. 14}
Kv = rpm * Ueb / ( U - im * R)
% Drehmoment [Nm] Propellerwelle                                                   {Gl. 15}
trq = 9.5493 / Kv * ( im - I0 ) * Ueb * Etag;
% Steifigkeit des Motors = Drehzahlabfall [rpm] pro Motorstrom Zunahme (dim) [A]   {Gl. 16}
drpm = -R * Kv / Ueb * dim;
% N100=F(pab,rpm)                                                                   {Gl. 17}
N100 = 100^(1/3) * rpm / pab^(1/3);

Links

[DC] Drive Calculator http://drivecalc.de/

[GG] http://www.elektromodellflug.de/oldpage/datenbank.htm

Formelinterpreter

Wenn man unter dem Stichwort „Formelinterpreter“ googelt findet man viele Freeware-Interpreter. Z.B. den Formelinterpreter FORINT.

http://www.softelan.de/deutsch/index.html

Wenn man unter dem Stichwort „Matlab Clone“ googelt findet man einige Freeware-Clones. Ein kompakter handlicher Clone ist:

http://mathlib.sourceforge.net