Einleitung

Abstrakt

Mit einem Satz von exakt herleitbaren Formeln, einigen Formeln die implizit Annahmen enthalten, sowie wenigen Schätzwerten wird hier ein einfaches Rechenschema zur Verfügung gestellt mit dem in einer ersten Etappe der Leistungsbedarf eines Elektroflugmodells abgeschätzt werden kann.

Zielgruppen der impliziten Annahmen sind bei E-Seglern die Softliner sowie bei Motorflugzeugen die Elektrotrainer. Bei Hotlinern werden die Fehler schon größer, doch ist das Rechenschema zu Abschätzung der Größenordnungen durchaus geeignet.

In einer zweiten Etappe kann nach Festlegung der Akkuspannung und bei Kenntnis weniger spezifischer E-Motorparameter auch der passende Propeller ermittelt werden kann.

Eingangsdaten für die erste Etappe sind neben dem Gewicht, die Flächenbelastung des Modells, der gewünschte Flugbahnwinkel und die gewünschte Fluggeschwindigkeit.

Eingangsdaten für die zweite Etappe sind die spezifische Drehzahl und der Innenwiderstand des E-Motors.

Die Formeln sind sehr einfach und können mittels zweier Hilfstabellen sogar mit einem einfachen kaufmännischen Taschenrechner berechnet werden.

Eine Beispielsrechnung illustriert die Anwendung des Rechenschemas.

Eingangsdaten

Fluggeschwindigkeit

Die notwendige Antriebsleitung ist direkt proportional zum Gewicht (G) und der Steiggeschwindigkeit (Vsteig). Damit wir Vsteig realistisch beurteilen können müssen wir zunächst eine Vorstellung der Fluggeschwindigkeit (Vflug) haben.

Vflug in m/s berechnet sich für G in kg und F = Flügelfläche in Quadratmeter als

V_{\mathrm {flug} }=4\cdot {\sqrt {\frac {G}{F\cdot C_{A}}}}

(1)

mit $C_{A}$ als gesamten Auftriebsbeiwert.

Für nicht mit Aerodynamik/Flugmechanik Vertraute kann für einen E-Segler der Auftriebsbeiwert im Bereich von CA=0.3 (zügige Fluggeschwindigkeit) bis CA=0.5 (eher langsam) angenommen werden.

Die von der Flächenbelastung abhängige Fluggeschwindigkeit kann auch ganz einfach der Tabelle 1 im Anhang entnommen werden, wobei die Flächenbelastung in der im Modellbau üblicheren Einheit von Gramm pro Quadratdezimeter angegeben ist.

Flugbahnwinkel (gamma) und Steiggeschwindigkeit (Vsteig)

Definition von gamma

Mit dem Flugbahnwinkel ergibt sich die Steiggeschwindigkeit zu

V_{\mathrm {steig} }=V_{\mathrm {flug} }\cdot \sin(\gamma )

(2)

Für Besitzer von lediglich einem kaufmännischen Taschenrechners kann der $\sin(\gamma )$ der Tabelle 2 im Anhang entnommen werden.

Rechenschema

Erste Etappe

Gewichtskraft (Fn)

F_{n}=G\cdot 9.81

(3)

Zuschlag für die Aerodynamik (kw)

Ein Flugmodell hat ein von der Fluggeschwindigkeit abhängigen Luftwiderstand der von dem Antrieb überwunden werden muss. Der Luftwiderstand wird hier als konstant angenommen werden und kann nur grob abgeschätzt werden in Form des Zuschlags $k_{w}$ . Der Bereich von $k_{w}$ ist wie folgt.

$k_{w}$	Modelltyp
0.08	Zwecksegler (F3J)
0.2	Doppeldecker

Vortriebskraft (T)

T=F_{n}\cdot (k_{w}+\sin(\gamma ))

(4)

Vortriebsleistung (Pv)

P_{v}=T\cdot V_{\mathrm {flug} }

(5)

Näherungsweise gilt auch für $k_{w}$ =0

P_{v}=F_{n}\cdot V{\mathrm {steig} }

(5.1)

Gesamtwirkungsgrad (eta)

Der Gesamtwirkungsgrad (gesprochen "eta", geschrieben $\eta$ ) ist das Produkt des Wirkungsgrades des Propellers ( $\eta _{P}$ ) multipliziert mit dem Wirkungsgrad des gesamten elektrischen Antriebsstranges ( $\eta _{A}$ ), also von und inklusive Akku bis zur Abtriebswelle. Vorsicht bei Verwendung eines Antriebrechners, oft ist dort nur der Motorwirkungsgrad berechnet und nicht der Gesamte.

\eta =\eta _{P}\cdot \eta _{A}

(6)

Die in der zweiten Etappe aufgeführten Propellerformeln basieren auf einem Wirkungsgrad von 66%. Also:

\eta _{P}=0.66{\frac {}{}}

(7.0)

Der Wirkungsgrad des Antriebsstranges muss zumindestens für den ersten Durchlauf durch das Rechenschema abgeschätzt werden. Je nach Güte der verbauten Komponenten gilt folgender Richtwert:

0.6\leq \eta _{A}\leq 0.75

(7.1)

Für einen zweiten Durchlauf durch das Rechenschema kann man, da ja dann eine erste Annahme für dem Motorstrom vorliegt, etaA mit der Formel aus Formelsammlung Elektroantriebe genauer berechnet werden (für diejenigen die der Magie des Zahl erlegen sind muss die 1. Etappe dann mehrfach durchlaufen werden).

Antriebsleistung ( $P_{a}$ )

Dies ist die Eingangsleistung die wir für den gewünschten Flugbahnwinkel mit der gewünschten Fluggeschwindigkeit benötigen.

P_{a}={\frac {P_{v}}{0.66\eta _{A}}}

(8)

Motorstrom ( $I_{m}$ )

Nach Festlegung des Akkus mit Typ und Zellenzahl kann mit der Nennspannung $U_{\mathrm {nom} }$ des Akkus der Motorstrom berechnet werden.

I_{m}={\frac {P_{a}}{U_{\mathrm {nom} }}}

(9)

Akku, Regler und Motor sollten mindestens diesen Strom in Dauerbetrieb abkönnen.

Zweite Etappe

Mit den Definitionen der Formelsammlung Elektroantriebe und der dort gelisteten Formel für die Motordrehzahl (rpm) der Abtriebswelle {Gl. 3} kann dann in Folge der Propellerdurchmesser und die Propellersteigung berechnet werden, falls die Spezifische Drehzahl (Kv) und der Innenwiderstand (RiM) des Motors hinreichend genau bekannt sind.

Mit

U = Unom

und

R = RiM= + 0.005

sowie

Ueb = { kein Getriebe: Ueb=1.0; ansonsten bei Getriebe mit z. B. 1 / 5.2: Ueb=5.2}

erhalten wir die Motordrehzahl

rpm=(U-I_{m}\cdot R)\cdot {\frac {Kv}{Ueb}}

(10)

Propellersteigung (Sz) in Zoll

Sz=3300\cdot {\frac {V_{\mathrm {flug} }}{rpm}}

(11)

Propellerdurchmesser (Dz) in Zoll

Mit T aus {Gl. 4} erhalten wir:

Dz={\frac {58{\sqrt {T}}}{V_{\mathrm {flug} }}}

(12)

Verhältnis Sz/Dz

Falls Sz/Dz kleiner 0.5 ist liegt eine ungünstige Auslegung vor, zumal die Auswahl von Propellern dann enorm eingeschränkt ist. Daher ist eine solche Auslegung zu vermeiden!

Maßnahmen zur Verbesserung des Verhältnis Sz/Dz

Erhöhung von Vflug. Dies wird mit einer Erhöhung des Leistungsbedarfes erkauft, d.h. Anstieg des Motorstromes.

Verkleinerung der Zellenzahl. Erkauft mit dem Anstieg des Motorstromes.

Einen Motor mit kleinerem Kv oder eine höhere Getriebeübersetzung wählen. Motoren mit einem zu hohem Kv ist eine weit verbreitete Quelle von Fehlanpassungen. Denn hier gilt: je größer desto schlechter!

Endgültige Propellerwahl

Mit dem schlussendlichen Sz und Dz müssen die Werte auf erhältliche Propeller gerundet werden. Tendenziell sollte dabei die die Steigung eher aufgerundet werden.

Beispielsrechnung

Eingangsdaten

Ein E-Segler mit dem Abfluggewicht von 1.5 Kg und einer Flächenbelastung von 40 gr/dm^2, ausgerüstet mit einem 3S-LiPo und einem AXI 2820-12, soll zügig mit einem Flugbahnwinkel von 30° steigen.

Annahmen

Aus Tabelle 1 erhalten wir Vflug = 14.6.

Zuschlag für Aerodynamik: kw = 0.1

Der Wirkungsgrad des Elektroantriebsstranges wird angesetzt zu: etaA = 0.7

Erste Etappe

Formeln (3),(4),(5),(8) und (9):

$F_{n}=G\cdot 9.81=1.5\cdot 9.81=14.72\mathrm {N} {\frac {}{}}$

$T=F_{n}\cdot (k_{w}+\sin(\gamma ))=14.72\cdot (0.1+0.5)=8.83\mathrm {N} {\frac {}{}}$

$P_{v}=T\cdot V_{\mathrm {flug} }=8.83\cdot 14.6=128.9\mathrm {W} {\frac {}{}}$

$P_{a}=P_{v}/0.66/\eta _{A}=128.9/0.66/0.7=279\mathrm {W} {\frac {}{}}$

$I_{m}=P_{a}/U_{\mathrm {nom} }=279/11.1=25.1\mathrm {A} {\frac {}{}}$

Der angenommene Motorstrom ist 25.1 A. Die Rechnung bis hierher war doch ein Klacks?

Zweite Etappe

Für den Axi 2820-12 wird folgendes angenommen:

Kv = 990 (Datenblattangabe)
RiM = 0.05
Ueb = 1.0 da wir kein Getriebe verwenden.

Mit diesen Werten gehen wir in die 2. Etappe, Formeln (10),(11) und (12)

U = Unom = 11.1
R = 0.05 + 0.005

$rpm=(U-I_{m}\cdot R)\cdot Kv=(11.1-25.1\cdot 0.055)\cdot 990=9622\mathrm {U/min} {\frac {}{}}$

$Sz={\frac {3300\cdot V_{\mathrm {flug} }}{rpm}}=3300\cdot 14.2\,/\,9622=4.87''{\frac {}{}}$

$Dz={\frac {58\cdot {\sqrt {T}}}{V_{\mathrm {flug} }}}=58\cdot {\sqrt {8.83}}\,/\,14.6=11.8''{\frac {}{}}$

Das Verhältnis SZ / Dz ist 0.42 und liegt somit im ungünstigen Bereich. Als Verbesserungsmaßnahme erhöhen wir die Fluggeschwindigkeit auf 17 m/s. Etappe eins und zwei muss nun nochmals durchgerechnet werden. Hier die Ergebnisse in Kürzform:

im = 29.3

Sz = 5.97

Dz = 10.13

Der passende Propeller ist ein 10 * 6. Falls er hält was draufsteht können wir einen Motorstrom von 29 A bei einer Steiggeschwindigkeit von 8.5 m/s erwarten.

Faustformel für Propellergrösse in Abhängigkeit zur Modellgrösse, für E-Seglerantriebe von A. Reisenauer:

Eine 13x6,5 empfehle ich für ca 1,70m Spannweite.
Für 2m sind 14-15" recht ideal.
Für 3m sinnvoll 17-18"
Für 4m ist eine 20x13Ab das Maß der Dinge.
Ab 5m 23x12.
Ab 3,2m bringt übrigends eine 20x13 bei gleicher Eingangsleistung bereits einen Vorteil von über 20% gegenüber 17und 18".
Mit einer 13x6,5 sind bei gleicher Kapazität nur noch rund 60% Höhenmeter gegenüber einer Auslegung mit 20x13 erreichbar.

Formelzeichen

Symbol	Einheit	Beschreibung
$C_{A}{\frac {}{}}$		Gesamter Auftriebsbeiwert des Modells
Dz	Zoll	Propellerdurchmesser
$\eta {\frac {}{}}$		Gesamter Wirkungsgrad inkl. Propeller und Antriebsstrang
$\eta _{A}{\frac {}{}}$		Gesamter Wirkungsgrad des Antriebsstranges inkl. Akku
F	m^2	Flügelfläche
$F_{n}{\frac {}{}}$	N	Gewichtskraft
G	Kg	Modellgewicht
$\gamma {\frac {}{}}$	Grad	Flugbahnwinkel
Kv	rpm/V	Spezifische Drehzahl des Motors
$I_{m}{\frac {}{}}$	A	Motorstrom
$P_{a}{\frac {}{}}$	W	Antriebsleistung
$P_{v}{\frac {}{}}$	W	Vortriebsleistung
R	Ohm	Elektrischer Widerstand
RiM	Ohm	Innenwiderstand des Motors
rpm		Umdrehungen/Minute an der Propellerwelle
Sz	Zoll	Propellersteigung
T	N	Vortriebskraft
U	V	Elektrische Spannung
$U_{\mathrm {nom} }{\frac {}{}}$	V	Nominalspannung
Ueb		Getriebeübersetzung
$V_{\mathrm {flug} }{\frac {}{}}$	m/s	Fluggeschwindigkeit
$V_{\mathrm {steig} }{\frac {}{}}$	m/s	Steiggeschwindigkeit